Question

已知定义域为R的单调函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=

x

3

-2^x
（I）求f（-1）的值；
（II）求f（x）的解析式；
（III）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据题意得，f（-1）=-f（1），结合当x＞0时，f（x）=

x

3

-2^x即可求出f（-1）；
（II）由定义域为R的函数f（x）是奇函数，知f（0）=0．当x＜0时，f（-x）=

-x

3

-2-x，由函数f（x）是奇函数，知f（x）=

x

3

+2-x，由此能求出f（x）的解析式．
（III）由f（1）=-

5

3

＜f（0）=0且f（x）在R上单调，知f（x）在R上单调递减，由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），再由根的差别式能求出实数k的取值范围．

解答：解：（I）f（-1）=-f（1）=-（

1

3

-2）=

5

3

；
（II）∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
f（-x）=-

x

3

-2^-x，
又∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=

x

3

+2^-x，
综上所述f（x）=

x 3 -2x，x＞0 0，x=0 x 3 +2-x，x＜0

．
（III）∵f（1）=-

5

3

＜f（0）=0，
且f（x）在R上单调，
∴f（x）在R上单调递减，
由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又∵f（x）是减函数，
∴t²-2t＞k-2t²
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0得k＜-

1

3

，即为所求．

点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，同时注意函数性质的灵活运用．