题目内容

10．已知圆M：（x-m）2+y2=1的切线l，当l的方程为y=1时，直线l与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相切，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当m＜0时，设S表示三角形的面积，若M的切线l：y=kx+$\sqrt{2}$与椭圆C交于不同的两点P，Q，当$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{2}{3}$时，求S△MPQ的值．

分析 （1）由直线l：y=1与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相切，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．可得：b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a2=b2+c2，联立解得即可得出．
（2）直线方程与椭圆方程联立化为$（1+2{k}^{2}）{x}^{2}+4\sqrt{2}kx$+2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），△＞0，利用根与系数的关系可得：y1y2=k2x1x2+$\sqrt{2}k$（x1+x2）+2.$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x1x2+y1y2=$\frac{2}{3}$，解得k2=1．利用|PQ|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．即可得出S△MPQ．

解答 解：（1）∵直线l：y=1与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）相切，且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴b=1，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a2=b2+c2，
联立解得b=c=1，a2=2．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为$（1+2{k}^{2}）{x}^{2}+4\sqrt{2}kx$+2=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），△=32k2-8（1+2k2）＞0，解得k2$＞\frac{1}{2}$．
∴x1+x2=$\frac{-4\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$．
∴y1y2=$（k{x}_{1}+\sqrt{2}）（k{x}_{2}+\sqrt{2}）$=k2x1x2+$\sqrt{2}k$（x1+x2）+2=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+2=$\frac{2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x1x2+y1y2=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，解得k2=1$＞\frac{1}{2}$．
∴|PQ|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×（\frac{32}{9}-\frac{8}{3}）}$=$\frac{4}{3}$．
∵M的切线l：y=x+$\sqrt{2}$，
∴$\frac{|m+\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，m＜0，解得m=-2$\sqrt{2}$．
∴S△MPQ=$\frac{1}{2}×1×\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、向量数量积运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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（1）求椭圆方程；
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