Question

【题目】已知函数.

(1)求的极大值；

(2)当时，不等式恒成立，求的最小值；

(3)是否存在实数，使得方程在上有唯一的根，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）-1；（3）存在，且当符合题意。

【解析】

(1)求导,明确函数的单调性，从而得到的极大值；

(2) 不等式恒成立，即恒成立，记，求其最大值，即可得到的最小值；

(3) 记，由，存在，使在上有零点，再证明唯一性即可.

（1），令，得.

当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故当时，的极大值为．

（2）不等式恒成立，即恒成立，

记，则，

当时，令，得，

当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则，即，…8分

则， 记，则，令，得

当时，，此时单调递减，当时，，此时 单调递增，，故的最小值为.

（3）记，由，

故存在，使在上有零点，下面证明唯一性：

① 当时，，故，在上无解

②当时，，而，

此时，单调递减，

所以当符合题意．