Question

（本小题满分14分）已知函数，。

(1) 若，求函数的极值；

(2) 设函数，求函数的单调区间；

(3) 若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

(1)的极小值为； (2) 当时，在上递增；时，在上递减，在上递增；(3)或 。

【解析】

试题分析：（1）

∴在上递减，在上递增 ∴的极小值为……4分

（2）   ∴

①当时，，∴在上递增

②当时，，

∴在上递减，在上递增                 ……8分

（3）区间上存在一点，使得成立

在上有解

当时，

由（2）知

当时，在上递增，

∴ ∴

②当时，在上递减，在上递增

（ⅰ）当时， 在上递增

∴ 

∴无解

（ⅱ）当时， 在上递减

∴

∴ 

（ⅲ）当时， 在上递减，在上递增

∴

令，则

∴在递减  ∴ ∴无解

即无解

综上：或                      ……14分

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值。

点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．