Question

【题目】设，函数（是自然对数的底数）．

（1）证明：存在一条定直线与曲线和都相切；

（2）若对恒成立，求的值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）此题证明关键是找出一条公切线，先求导数，，，，正巧，即这两个函数图象有公共点，且此点处两函数的导数相等，这点处的切线就是公切线；（2）若对恒成立，即，记，由于，因此是的最大值，又，在附近，记，因此必有，从而得，接着检验时，最大值．

试题解析：（1）证明：函数的导数分别为，

注意到对任意，

故直线与曲线与都相切

（2）设函数，则对任意，都有．

因对任意，都有，故为的极大值点

，

记，则，

注意到在的附近，恒有，

故要使为的极大值点，

必须（否则，若，则在的附近，恒有，从而，于是不是的极值点；同理，若，则也不是的极值点），即，从而

又当时，，

则在上，，在上，，

于是在上递增，在上递减，

故．

综上所述，