Question

在等比数列{a_n}中，已知a₁=3，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记cn=(-1)nbn+an，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ） 设等比数列{a_n}的公比为q（q≠1），等差数列{b_n}的公差为d．
由已知得：a2=3q，a3=3q2，b₁=3，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d，
所以

3q=3+3d 3q2=3+12d

?

q=1+d q2=1+4d

?q=3或 q=1（舍去），
所以，此时 d=2，
所以，an=3n，b_n=2n+1；
（Ⅱ） 由题意得：cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）^n-1（2n-1）+（-1）ⁿ（2n+1）+3+3²+…+3ⁿ，
当n为偶数时，Sn=n+

3n+1

2

-

3

2

=

3n+1

2

+n-

3

2

，
当n为奇数时，Sn=(n-1)-(2n+1)+

3n+1

2

-

3

2

=

3n+1

2

-n-

7

2

，
所以，Sn=

3n+1 2 +n- 3 2 (n为偶数时) 3n+1 2 -n- 7 2 (n为奇数时)

．