Question

已知函数f（x）=x²e^-ax，其中a＞0．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）求f（x）在[1，2]上的最大值

Answer 1

分析：（I）对函数f（x）=x²e^-ax，进行求导，解出函数的极值点，然后根据极值点的值判断函数的单调区间；
（II）因区间[1，2]比较大，里面不是单调的增或者间，需要讨论，然后代入求解．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=2xe^-ax+x²（-a）e^-ax=e^-ax（-ax²+2x）（2分）
令f'（x）＞0，∵e^-ax＞0（3分）
∴-ax²+2x＞0，解得0＜x＜

2

a

．（4分）
∴f（x）在（-∞，0）和(

2

a

，+∞)内是减函数，在(0，

2

a

)内是增函数．（6分）
（Ⅱ）①当0＜

2

a

＜1，即a＞2时，f（x）在（1，2）内是减函数．
∴在[1，2]上f_max（x）=f（1）=e^-a；（8分）
②当1≤

2

a

≤2，即1≤a≤2时，f（x）在(1，

2

a

)内是增函数，在(

2

a

，2)内是减函数．
∴在[1，2]上fmax(x)=f(

2

a

)=4a-2e-2；（10分）
③当

2

a

＞2，即0＜a＜1时，f（x）在（1，2）是增函数．
∴在[1，2]上f_max（x）=f（2）=4e^-2a．（12分）
综上所述，当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上的最大值为4e^-2a；
当1≤a≤2时，f（x）在[1，2]上的最大值为4a^-2e^-2；
当a＞2时，f（x）在[1，2]上的最大值为e^-a．（13分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．