题目内容
使函数f(x)=sin(2x+θ)+
cos(2x+θ)的图象关于原点对称，且满足对于[0，
]内任意两个数x1，x2，恒有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0的θ的一个取值可以是（ ）
| 3 |
| π |
| 4 |
分析：函数f（x）图象关于原点对称，满足f（0）=0，算出tanθ=-
，得θ=
+kπ（k∈Z）．再根据函数f（x）区间[0，
]内恒有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0，得函数f（x）为减函数，利用辅助角公式并结合函数y=Asin（ωx+φ）的性质讨论f（x）的单调减区间，即可得到取k=0，得θ=
时满足题设的两个条件．
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 4 |
| 2π |
| 3 |
解答：解：∵函数f(x)=sin(2x+θ)+
cos(2x+θ)的图象关于原点对称，
∴函数f（x）是奇函数，满足f（0）=sinθ+
cosθ=0，
得tanθ=-
，θ=
+kπ，k∈Z
∵f(x)=sin(2x+θ)+
cos(2x+θ)=2sin（2x+θ+
）
满足在区间[0，
]内恒有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0，即函数为减函数
∴θ+
≤2x+θ+
≤θ+
，
令t=2x+θ+
，得集合M={t|θ+
≤t≤θ+
}，且M?[
+2mπ，
+2mπ]，m∈Z．
由此可得：取k=m=0，得θ=
，M=[π，
}满足题设的两个条件
故选：D
| 3 |
∴函数f（x）是奇函数，满足f（0）=sinθ+
| 3 |
得tanθ=-
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∵f(x)=sin(2x+θ)+
| 3 |
| π |
| 3 |
满足在区间[0，
| π |
| 4 |
∴θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
令t=2x+θ+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
由此可得：取k=m=0，得θ=
| 2π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
故选：D
点评：本题给出三角函数的图象关于原点对称，并且在已知一个单调减区间的情况下求参数的值，着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变形和函数的单调性等知识，属于中档题．
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相关题目
使函数f(x)=sin(2x+θ)+
cos(2x+θ)是奇函数，且在[0，
]上是减函数的θ的一个值是（ ）
| 3 |
| π |
| 4 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
cos(2x+θ)是奇函数,且在［0,
］上是减函数的θ的一个值是( )
B.
C.
D.
)+
是奇函数，且在[0，
上是减函数的
B．
C．
D．
)+
是奇函数，且在[0，
上是减函数的
B．
C．
D．