Question

已知椭圆（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，且l总与以原点为圆心的单位圆相切．
（I）求该椭圆的方程；
（II）当且满足时，求S_△AOB的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）由抛物线y²=4x可知焦点为（1，0），准线为x=-1，椭圆截直线x=-1所得的弦长为得上交点为（-1，），代入结合1=a²-b²可求
II）由直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切可得，由可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，△=8k²＞0可得k≠0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则，y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=，而=，结合可求k的范围，根据表示所求的面积，结合基本不等式可求
解答：解：（I）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），准线为x=-1
∵椭圆截直线x=-1所得的弦长为得上交点为（-1，），代入得，且1=a²-b²
∴b²=1，a²=2
∴椭圆方程为
（II）∵直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切
∴即m²=k²+1
由可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
△=8k²＞0可得k≠0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
∴=λ，
由可得，即
∵=
令u=k⁴+k²∵∴，
∴
点评：本题主要考查了利用椭圆与抛物线的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系的应用，方程的根与系数的关系的应用及利用基本不等式求解函数的最值，综合性较强，运算量较大，属于综合试题