Question

已知点为圆上的动点，且不在轴上，轴，垂足为，线段中点的轨迹为曲线，过定点 任作一条与轴不垂直的直线，它与曲线交于、两点。
（1）求曲线的方程；
（2）试证明：在轴上存在定点，使得总能被轴平分。

Answer 1

(1) 
(2) 略

解：（1）设为曲线上的任意一点，则点在圆上，
∴，曲线的方程为．        
（2）设点的坐标为，直线的方程为，　　　 　
代入曲线的方程，可得　
，　                             
∵，∴，
　 ∴直线与曲线总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆的内部得到此结论）
设点,的坐标分别, ，
则，                       
要使被轴平分，只要，
即，，              
也就是，，
即，即只要　　 
当时，（＊）对任意的s都成立，从而总能被轴平分．
所以在x轴上存在定点，使得总能被轴平分．