Question

【题目】已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 X 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 与椭圆 C 相交于 A,B 两点（ A,B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的图过椭圆 C 的右顶点．求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】由题意设椭圆的标准方程为 ，由已知得： ，

所以 椭圆的标准方程为 ．

（2）

【解答】设 ．联立

得 ，则

又

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，

，即 ． 所以．

． ．

解得： ，且均满足 ．

当 时， l 的方程 ，直线过点 (2,0) ，与已知矛盾；

当 时， l 的方程为 ，直线过定点 ．

所以，直线 l 过定点，定点坐标为 ．

【解析】（1）椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1；可得 ；进而求出椭圆的标准方程.（2）中由直线交椭圆于不同两点得不等式△＞0，由中点横坐标得一方程，两者联立即可求得范围，称为“方程不等式法”，解题中注意应用．