Question

（2011•钟祥市模拟）定义在R上的函数f（x）满足f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(

x

3

)=

1

2

f(x)，且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），则f(

1

2010

)的值为（　　）

• A．

  1

  256

• B．

  1

  128

• C．

  1

  64

• D．

  1

  32

Answer 1

分析：根据已知条件，可求出f（

1

2

）=

1

2

，f（

1

2

）=

1

2

，再因为当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），可找到f(

1

2010

)的范围为f(

1

1458

)＜f(

1

2010

)＜f(

1

2187

)，再根据f（

1

2

）=

1

2

，f（

1

2

）=

1

2

求出f(

1

1458

)和f(

1

2187

)的值，为同一个值，所以f(

1

2010

)的值也等于这个值．

解答：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(

x

3

)=

1

2

f(x)，
∴f（1）+f（0）=1，∴f（1）=1
f（

1

2

）+f（1-

1

2

）=1，∴f（

1

2

）=

1

2

f（

1

3

）=

1

2

f（1），∴f（

1

2

）=

1

2

f（

1

3

）=

1

2

∵

1

1458

＞

1

2010

＞

1

2187

，且当0≤x₁＜x₂≤1时，有f（x₁）≤f（x₂），
∴f(

1

1458

)＜f(

1

2010

)＜f(

1

2187

)，
又∵f（

1

1458

）=

1

2

f（

1

486

）=

1

22

f（

.

162

）=…=

1

26

f（

1

2

）=

1

27

f（

1

37

）=

1

2

f（

1

36

）=

1

22

f（

1

35

）=…=

1

27

f（1）=

1

27

∴f(

1

2010

)=

1

27

=

1

128

故选B

点评：本题主要考查了根据函数性质求函数值，注意赋值法的应用．