题目内容

已知f（x）（x∈R）是奇函数，当x∈（0，+∞）时，f(x)=lg

1

2+x

，则f（0）=

0

0

，f（-2）=

lg4

lg4

，当a＜0时f（a）=

lg（2-a）

lg（2-a）

．

分析：由奇函数的定义，我们可以利用f（-x）=-f（x），结合x∈（0，+∞）时，f(x)=lg

1

2+x

，求出当x∈（-∞，0）时，求f（x）的解析式，将-2，a代入即可求出答案．

解答：解：∵定义在R上的奇函数的图象必要坐标原点
∴f（0）=0
若x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞）此时
f（-x）=lg

1

2-x

=-f（x）
∴f（x）=lg（2-x）
∴f（-2）=lg4
f（a）=lg（2-a）
故答案为：0，lg4，lg（2-a）

点评：若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用，另外如何利用f（-x）=-f（x），求对称区间上的函数解析式，也是解答问题的关键．

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已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）无零点，则g（x）＞0对?x∈R成立；
②若f（x）有且只有一个零点，则g（x）必有两个零点；
③若方程f（x）=0有两个不等实根，则方程g（x）=0不可能无解．
其中真命题的个数是

已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=

f1(x)，f1(x)≤f2(x)

f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）当a=1时，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，求实数m的范围；
（3）当2≤a＜9时，设f（x）=f₂（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值．

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）

A．{x|x＜-1或x＞1}

B．{x|x＜-1或0＜x＜1}

C．{x|-1＜x＜0或0＜x＜1}

D．{x|-1＜x＜1，且x≠0}

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若 $数学公式$ ，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间 $数学公式$ 上的值域为 $数学公式$ ，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若

，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间

上的值域为

，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．