题目内容
已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（ ）
分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=
为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可
| f(x) |
| x |
解答：
解：设g（x）=
，则g（x）的导数为g′（x）=
，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=
为减函数，
又∵g（-x）=
=
=
=g（x）
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（1）=
=0
∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得
不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0?
或
?0＜x＜1或x＜-1
故选B
解：设g（x）=| f(x) |
| x |
| xf′(x)-f(x) |
| x2 |
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=
| f(x) |
| x |
又∵g（-x）=
| f(-x) |
| -x |
| -f(x) |
| -x |
| f(x) |
| x |
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（1）=
| f(1) |
| 1 |
∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得
不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0?
|
|
?0＜x＜1或x＜-1
故选B
点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
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