Question

已知点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，∠PDA=60°．则DP与CC₁所成角的大小是

 

．

Answer 1

分析：设正方体的棱长等于1，建立如图所示空间直角坐标系．连接BD、B₁D₁，在平面BB₁D₁D中延长DP，交B₁D₁于H．由题意得＜

DH

，

DA

＞=60°，设

DH

=（m，m，1），结合

DA

=（1，0，0）利用向量数量积公式建立关于m的方程解出m=

2

2

，得出

DH

的坐标，最后由向量的夹角公式算出cos＜

DH

，

CC1

＞=

2

2

，即得DP与CC₁所成的角大小．

解答：解：设正方体的棱长等于1，分别以DA、DC、DD₁为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则

DA

=（1，0，0），

CC1

=（0，0，1）．
连接BD、B₁D₁，在平面BB₁D₁D中，延长DP交B₁D₁于H．
设

DH

=（m，m，1），由∠PDA=60°可得＜

DH

，

DA

＞=60°，
∴

DH

•

DA

=|

DH

|•|

DA

|cos60°=

1

2

|

DH

|•|

DA

|
可得2m=

2m2+1

，解之得m=

2

2

，所以

DH

=（

2

2

，

2

2

，1），
∵cos＜

DH

，

CC1

＞=

DH • CC′

|DH| • |CC′|

=

2 2 ×0+ 2 2 ×0+1×1

1 2 + 1 2 +1 •1

=

2

2

，
∴＜

DH

，

CC1

＞=45°，即DP与CC₁所成的角为45°．
故答案为：45°

点评：本题在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中已知对角线上的点P满足的条件，求DP与CC₁所成的角大小．着重考查了正方体的性质和利用空间向量研究异面直线所成角大小的知识，属于中档题．