Question

4．若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的个数是（　　）
①$f（{\frac{1}{k}}）＞0$  ②f（k）＞k² ③$f（{\frac{1}{k-1}}）＞\frac{1}{k-1}$  ④$f（{\frac{1}{1-k}}）＜\frac{2k-1}{1-k}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据导数的概念得出$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，用x=$\frac{1}{k}$，k，$\frac{1}{k-1}$，$\frac{1}{1-k}$代入即可判断①③④正确，②错误．

解答 解：∵f′（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）-f（0）}{x-0}$，
且f′（x）＞k＞1，
∴$\frac{f（x）-f（0）}{x}$＞k＞1，
即$\frac{f（x）+1}{x}$＞k＞1，
对于①，令x=$\frac{1}{k}$，即有f（$\frac{1}{k}$）+1＞$\frac{1}{k}$•k=1，即为f（$\frac{1}{k}$）＞0，故①正确；
对于②，令x=k，即有f（k）＞k²-1，故②不一定正确；
对于③，当x=$\frac{1}{k-1}$时，f（$\frac{1}{k-1}$）+1＞$\frac{1}{k-1}$•k=$\frac{k}{k-1}$，
即f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{k}{k-1}$-1=$\frac{1}{k-1}$，故f（$\frac{1}{k-1}$）＞$\frac{1}{k-1}$，故③正确；
对于④，令x=$\frac{1}{1-k}$＜0，即有f（$\frac{1}{1-k}$）+1＜$\frac{1}{1-k}$•k=$\frac{k}{1-k}$，
即为f（$\frac{1}{1-k}$）＜$\frac{k}{1-k}$-1=$\frac{2k-1}{1-k}$，故④正确．
故正确个数为3，
故选；C．

点评 本题考查了导数的概念，不等式的化简与运算以及变量的代换问题与应用问题，是中档题目．