题目内容

已知向量 $数学公式$ =（-1，2）， $数学公式$ =（1，3）， $数学公式$ =（3，m）．
（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若点A，B，C构成直角三角形，且∠B=90°，求∠ACO的余弦值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（-1，2）， $\text{[math]}$ =（1，3）， $\text{[math]}$ =（3，m）．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（2，1）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（2，m-3）
∵点A，B，C能构成三角形，
∴向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不能共线，得2（m-3）≠1×2，所以m≠4，
即m满足的条件是m≠4
（2）∵ $\text{[math]}$ =（2，1）， $\text{[math]}$ =（2，m-3）且△ABC是以B为直角顶点的直角三角形
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2×2+1×（m-3）=0，解得m=-1
可得 $\text{[math]}$ =（3，-1），
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（-4，3）， $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =（-3，1），
此时，cos∠ACO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠ACO的余弦值等于 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因为A，B，C能构成三角形，所以向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不共线．算出向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标，根据向量共线的条件列式，解之即可得到实数m应满足的条件；
（2）由向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，列出关于m的方程，解之得m=-1．进而得到向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标，利用向量的夹角公式进行计算，即可得到∠ACO的余弦值．
点评：本题给出A、B、C三点能构成三角形，求参数m的取值范围，着重考查了平面向量共线的充要条件和向量数量积运算性质等知识，属于中档题．