Question

函数f（x）=x²（x+a）（a∈R）．
（1）若f′（2）=1，求a值及曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a=-1时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），由f′（2）=1可求得a值，然后求得f（2），利用点斜式可求得切线方程；
（2）当a=-1时，由f′（x）=0可求得极值点，进而可求极值，然后求出区间端点处的函数值，取其中最小者即为最小值；

解答：解：（1）f′（x）=2x（x+a）+x²=3x²+2ax，
由f′（2）=1，得3×2²+2a×2=1，解得a=-

11

4

，
此时f（2）=4×(2-

11

4

)=-3，
所以所求切线方程为：y-（-3）=x-2，即y=x-5；
（2）当a=-1时，f（x）=x²（x-1），f′（x）=3x²-2x，
令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

，
又f（-1）=-2，f（0）=0，f（

2

3

）=-

4

27

，f（1）=0，
所以f（x）在区间[-1，1]上的最小值为-2．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数在闭区间上的最值，属中档题，正确理解导数的几何意义及导数与极值、最值的关系是解决问题的关键．