Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，它的前n项和S_n满足Sn=

1

6

(an+1)(an+2)，并且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n+n-1，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n，并证明：

1

5

≤Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

1

6

(an+1)(an+2)，知a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

6

(an+1)(an+2)，所以an-12+3an-1=an2-3an，故a_n-a_n-1=3．所以{a_n}为等差数列，公差d=3．由a₂，a₄，a₉成等比数列，解得a₁=1．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n+n-1=3n-2+n-1=4n-3，知

1

bnbn+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，故T_n=

1

4

(1-

1

4n+1

)=

n

4n+1

，由此能求出数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n，并证明

1

5

≤Tn＜

1

4

．

解答：解：（1）∵Sn=

1

6

(an+1)(an+2)，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n=

1

6

(an+1)(an+2)，
即6（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=（a_n+1）（a_n+2），
∴6（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1）=an 2-3a_n+2=（a_n-1）（a_n-2），
即6（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1）=6S_n-1，
又由已知可得6S_n-1=（a_n-1+1）（a_n-1+2），
故（a_n-1+1）（a_n-1+2）=（a_n-1）（a_n-2），
∴an-12+3an-1=an2-3an，
an2-an-12=3an+3an-1，
（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=3（a_n+a_n-1）
∴a_n-a_n-1=3．所以{a_n}为等差数列，公差d=3．
∵a₂，a₄，a₉成等比数列，
∴3+a₁，9+a₁，24+a₁成等比数列，
∴(9+a1)2=(3+a1)(24+a1)，
解得a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2．
（2）∵b_n=a_n+n-1=3n-2+n-1=4n-3，
∴

1

bnbn+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴T_n=

1

4

[(

1

4-3

-

1

4+1

)+(

1

4×2-3

-

1

4×2+1

)+(

1

4×3-3

-

1

4×3+1

)+…+(

1

4n-3

-

1

4n+1

)]
=

1

4

(1-

1

4n+1

)=

n

4n+1

．
∵T_n=

n+ 1 4 - 1 4

4(n+ 1 4 )

=

1

4

-

1

16n+4

，
∴Tn＜

1

4

，
∵n∈N^*，∴当n=1时，T_n取最小值T1=

1

4

-

1

16+4

=

1

5

．
故

1

5

≤Tn＜

1

4

．

点评：本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算，并证明

1

5

≤Tn＜

1

4

．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．