Question

已知函数f（x）=x³-ax （a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间
（2）是否存在实数a，使得-

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≤f(x)≤0对任意的x∈[0，1]成立？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入，先求导数，令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分别求解函数的单调区间．
（2）利用分离法将a进行分离，然后转化成a≤x2+

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x-1对任意的x∈（0，1）成立，以及a≥x²对任意的x∈（0，1）成立，从而求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=x³-x，f'（x）=3x²-1=0，x=±

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，
x∈（-∞，-

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）或x∈（

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，+∞）时f'（x）＞0，x∈（-

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，

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）时f'（x）＜0，所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-

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3

）和（

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，+∞），
函数f（x）的单调递减区间为（-

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，

3

3

）…（5分）
（2）假设存在这样的a，使得-

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≤f(x)≤0对任意的x∈[0，1]成立，
当x=0时，a∈R先求x³-ax≤0对任意的x∈（0，1）成立，
即a≥x²对任意的x∈（0，1）成立，
所以  a≥1①…（10分）
再求x3-ax+

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．≥0对任意的x∈（0，1）成立，
即a≤x2+

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x-1对任意的x∈（0，1）成立，
记t(x)=x2+

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x-1（x∈（0，1））t′(x)=2x-

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x-2，t'（x）=0，x=

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，
且在x∈（0，

3

3

）时，t'（x）＜0，函数t(x)=x2+

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x-1递减，
在x∈（

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3

，1）时，t'（x）＞0，函数t(x)=x2+

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x-1递增．
所以，函数t(x)=x2+

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x-1在区间[0，1]的最小值为t(

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3

)=1，
所以a≤1②
由①，②可知，存在这样的a=1，
使得-

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≤f(x)≤0对任意的x∈[0，1]成立．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，以及理解函数恒成立时所取的条件，是一道综合题，有一点的难点，需要讨论．