Question

【题目】在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程： ，点P极坐标为 ，直线l过点P，且倾斜角为 ．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵曲线C极坐标方程： ，∴3ρ2+ρ2sin2θ=12，

∵ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，

∴曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2=12，即 =1．

∵点P极坐标为 ，直线l过点P，且倾斜角为 ．

∴点P的直角坐标为（3， ），

∴直线l参数方程为 （t为参数）

（2）解：把直线l参数方程 （t为参数）代入曲线C：3x2+4y2=12，

整理，得： ，

=4＞0，

设方程的两根为t1，t2，则t1+t2=﹣ ，t1t2= ，∴t1＜0，t2＜0，

∴ =| |=| |= = =

【解析】（1）曲线C极坐标方程转化为3ρ2+ρ2sin2θ=12，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l过点P（3， ），且倾斜角为 ，能求出直线l参数方程．（2）把直线l参数方程 （t为参数）代入曲线C：3x2+4y2=12，得： ，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出 的值．