Question

.已知f（x）=e^x-ax-1．
（ I）若f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，求a的值；
（II）设g（x）=-x²+2x+2在（I）的条件下，求证g（x）的图象恒在f（x）图象的下方．

Answer 1

分析：（I）根据函数的解析式，求出函数的导函数，结合f（x）在（-∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，可又构造关于a的不等式组，解不等式组可得答案．
（II）由（I）可得函数f（x）的解析式，及函数的最小值，结合二次函数的图象和性质，分析g（x）的值域，可得答案．

解答：解：（ I）∵f（x）=e^x-ax-1
∴f′（x）=e^x-a，
而f（x）在（-∞，0]上单调递减，
∴e^x-a≤0在x∈（-∞，0]上恒成立，有a≥e^x_max，
又当x∈（-∞，0]时，e^x∈（0，1]，得a≥1①
又f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴e^x-a≥0在x∈[0，+∞）上恒成立，有a≤e^x_min，
又当x∈[0，+∞）时，e^x∈[1，+∞），得a≤1②
由①，②知a=1．
（ II）由（ I）可知f（0）是f（x）的最小值，有f（x）≥f（0），
而f（0）=e⁰-0-1=0，g（x）=-（x-1）²-1≤-1
故f（x）＞g（x），即g（x）的图象恒在f（x）图象的下方．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，二次函数的图象和性质，其中根据已知中函数的单调性，结合函数单调性与导函数符号，列出关于a的不等式组是解答的关键．