Question

已知函数f（x）=lnx+（x-a）²，a为常数．
（1）若当x=1时，f（x）取得极值，求a的值，并求出f（x）的单调增区间；
（2）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于．

Answer 1

【答案】分析：（1）求函数的定义域，利用导数研究函数的极值和单调区间．
（2）利用f（x）存在极值，求a的取值范围．
解答：解：（1）∵，
∵x=1时，f（x）取得极值，f'（1）=0，3-2a=0，…（2分）
，f'（x）＞0?2x²-3x+1＞0（x＞0）x＞1或，
f（x）的单调增区间为、（1，+∞）…（4分）
（2））∵，令f'（x）=0
则2x²-2ax+1=0在（0，+∞）上有解，但没有等根．△=4a²-8=4（a²-2）
当时，△＜0，则2x²-2ax+1＞0恒成立，即f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值．
当时，，方程的根，时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上无极值．
同理当时，f（x）在（0，+∞）上无极值．
当或时，△＞0，方程有二个解，，且x₁+x₂=a，
当时，x₁+x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁，x₂均为负根
∴x∈（0，+∞）有f′（x）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴f（x）无极值点．
当时x₁+x₂＞0，x₁•x₂＞0，∴x₁•x₂∈（0，+∞）

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f（x）	+		-		+
f′（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴f（x）在x₁处有极大值，在x₂处有极小值．
∴a的取值范围是…（8分）
∵=
∵x₁≠x₂，∴…（12分）
点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，运算量较大．