Question

函数y=f(x)(x∈R⁺)，若对一切正实数x都有f(3x)=3f(x)，且f(x)=1-|x-2|(1≤x≤3)，则f(100)=________，方程f(x)=f(100)的解在[0，100]上的个数有_________.

Answer 1

答案：19,3  【解析】本题考查函数的性质,方程解的个数讨论；由题意：

f(100)=,

又∵∈[1,3],∴f(100)=81[1-|-2|]=19；

∵x∈[1,3]有f(x)=1-|x-2|=,

∴x∈[1,100]时,f(x)=3ⁿf()=,

其中0≤n≤4,n∈N,①,②,在①中,n=0时,x=20(舍去),n=1时,x=22(舍去),n=2时,x=28(舍去),n=3时,x=46符合题意,n=4时,x=100符合题意；在②中,n=0时,x=-18(舍去),n=1时,x=-10(舍去),n=2时,x=8(舍去).n=3时,x=62符合题意,n=4时,x=244(舍去)；x∈(0,1]时,f(x)=19显然无解；综上所述,x=46,x=62,x=100,共三个解.