Question

设函数y=f(x)在区间D上的导函数为f′(x)，f′(x)在区间D上的导函数为g(x)。若在区间D上，g(x)＜0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”。已知实数m是常数，，
（Ⅰ）若y=f(x)在区间[0，3]上为“凸函数”，求m的取值范围；
（Ⅱ）若对满足|m|≤2的任何一个实数m，函数f(x)在区间（a，b）上都为“凸函数”，求b-a的最大值。

Answer 1

解：由函数，得，
∴， 
（Ⅰ）若y=f(x)在区间[0，3]上为“凸函数”，则在区间[0，3]上恒成立，
∵x=0时，恒成立，
0＜x≤3时，恒成立等价于恒成立，
∵0＜x≤3时，时增函数，
∴m＞F（3），即m＞2，
∴若f(x)在区间[0，3]上为“凸函数”，则m＞2。
（Ⅱ）当|m|≤2时，恒成立，|m|≤2时，恒成立，
当x=0时，-3＜0显然成立，
∵m的最小值是-2， 
∴，解得0＜x＜1，
当x＜0，，
∵m的最大值是2，
∴，解得-1＜x＜0；
综上可得-1＜x＜1，从而，
∴b-a的最大值等于2。