Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若{S_n}是首项为S₁，各项均为正数且公比为q的等比数列．

(1)求数列{a_n}的通项公式；(用S₁和q表示)

(2)试比较a_n＋a_n+2与2a_n+1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)因为{Sn}是各项均为正数的等比数列，所以Sn＝S1qn－1(q＞0)．当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝S1(q－1)所以＝ 　　(2)当n＝1时，a1＋a3－2a2＝S1＋S1(q－1)q－2S1(q－1)＝＞0．所以a1＋a3＞2a2．当n≥2时，an＋an+2－2an+1＝S1(q－1)qn－2＋S1(q－1)qn－2S1(q－1)qn－1＝S1(q－1)3qn－2．因为S1＞0，qn－2＞0，所以，①当q＝1时，(q－1)3＝0，an＋an+2＝2an+1；②当0＜q＜1时，(q－1)3＜0，an＋an+2＜2an+1；③当q＞1时，(q－1)3＞0，an＋an+2＞2an+1．综上，当n＝1时，a1＋a3＞2a2．当n≥2时，若q＝1，则an＋an+2＝2an+1；若q＞1，则an＋an+2＜2an+1；若q＞1，则an＋an+2＞2an+1．

提示：

分类讨论要做到不重不漏．本题中对q＞0分三种情况：①0＜q＜1；②q＝1；③q＞1．