Question

f(x)=x3-

b

2

x2+bx+4在〔-2，1〕上单调递增，求b取值范围．

Answer 1

分析：由f(x)=x3-

b

2

x2+bx+4，知f′（x）=3x²-bx+b，由f（x）在〔-2，1〕上单调递增，知f′（x）在[-2，1]上恒有f′（x）≥0，即3x²-bx-b≥0在[-2，1]上恒成立，由此能求出参数b的取值范围．

解答：解：∵f(x)=x3-

b

2

x2+bx+4，
∴f′（x）=3x²-bx+b，
∵f（x）在〔-2，1〕上单调递增，
∴f′（x）在[-2，1]上恒有f′（x）≥0，即3x²-bx-b≥0在[-2，1]上恒成立，
设y=3x²-bx-b，则抛物线y=3x²-bx-b的对称轴方程是x=

b

6

．
①当x=

b

6

≥1时，f′（x）_min=f′（1）=3-b+b＞0，
解得b≥6．
②当x=

b

6

≤-2时，f′（x）_min=f′（-2）=12+2b+b≥0，
解得b∈∅．
③当-2≤

b

6

≤1时，f′（x）_min=

b-b2

12

≥0，
∴0≤b≤6．
综上所述，所求参数b的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题考查参数的取值范围的求法，具体涉及到导数的性质的应用．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．