题目内容
已知函数f(x)=
x3+
(b-1)x2+cx(b,c为常数).(1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值，试求b,c的值;
(2)若f(x)在x∈(-∞,x1)和x∈(x2,+∞)上单调递增，且在x∈(x1,x2)上单调递减，又满足x2-x1＞1.求证：b2＞2(b+2c).
(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c，据题意知x=1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根，
∴1-b=4，c=3，即b=-3，c=3.
(2)∵f(x)在x∈(-∞,x1)和x∈(x2,+∞)上单调递增，∴f′(x)＞0，
又f(x)在(x1,x2)上单调递减，∴f′(x)＜0.∴f′(x1)=f′(x2)=0,
∴x1,x2是方程x2+(b-1)x+c=0的两根，故有
∵x2-x1＞1，∴(x2-x1)2＞1,
∴(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(b-1)2-4c=b2-2(b+2c)+1＞1,
∴b2＞2(b+2c).
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