Question

（本小题满分12分）  已知函数

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若函数在上单调递增，求正实数的取值范围；

（Ⅲ）若对一切恒成立，求的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）的最小值为：0   …………………………………………………………4分

（Ⅱ），   又为正实数

当时，若，由1可知，所以

    若，，所以

               综上，函数在上单调递增；

当时，令，则

            当时， ，单减，所以

            即，所以在上单调递减，与已知矛盾。

综上，正实数的取值范围为：正实数的取值范围 ……………………………9分

（Ⅲ）首先

      其次，由（Ⅱ）知：当时，在上单调递增，

所以，从而，所以：

       =

若，则

若，则，即，对一切恒成立，但当时， ，矛盾。

综上：，其最小值为1。……………………………………………………………14分