Question

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长的3，侧棱AA₁=D是CB延长线上一点，且BD=BC.

 （Ⅰ）求证：直线BC₁//平面AB₁D；

 （Ⅱ）求二面角B₁—AD—B的大小；

 （Ⅲ）求三棱锥C₁—ABB₁的体积.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）见解析；         （Ⅱ）60°；          （Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）证明：CD//C₁B₁，又BD=BC=B₁C₁， ∴ 四边形BDB₁C₁是平行四边形，

∴BC₁//DB₁.

又DB₁平面AB₁D，BC₁平面AB₁D，∴直线BC₁//平面AB₁D.

（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB₁，

∵B₁B⊥平面ABD，∴B₁E⊥AD ，

∴∠B₁EB是二面角B₁—AD—B的平面角，

∵BD=BC=AB，

∴E是AD的中点，

在Rt△B₁BE中，

∴∠B₁EB=60°．

即二面角B₁—AD—B的大小为60°

（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B₁B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，

∴AF⊥平面BB₁C₁C，且AF=  ∴

即三棱锥C₁—ABB₁的体积为

解法二：在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，

即三棱锥C₁—ABB₁的体积为