Question

14．在平面直角坐标系xOy中，点集K={（x，y）|（|x|+|3y|-6）（|3x|+|y|-6）≤0}所对应的平面区域的面积为24．

Answer 1

分析 根据不等式对应区域的对称性求出在第一象限的面积即可．

解答 解：∵（|x|+|3y|-6）（|3x|+|y|-6）≤0对应的区域关于原点对称，x轴对称，y轴对称，
∴只要作出在第一象限的区域即可．
当x≥0，y≥0时，
不等式等价为|（x+3y-6）（3x+y-6）≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-6≥0}\\{3x+y-6≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-6≤0}\\{3x+y-6≥0}\end{array}\right.$，
在第一象限内对应的图象为，
则A（2，0），B（6，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-6=0}\\{3x+y-6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
则三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}×4×\frac{3}{2}$=3，则在第一象限的面积S=2×3=6，
则点集K对应的区域总面积S=4×6=24．
故答案为：24．

点评 本题主要考查区域面积的计算，根据二元一次不等式组表示平面区域的性质是解决本题的关键．