Question

已知函数．定义函数f（x）与实数m的一种符号运算为m?f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函数值f（x）大于0的x的取值范围；
（2）若，求g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；
（3）是否存在一个数列{a_n}，使得其前n项和．若存在，求出其通项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数值f（x）大于0的x的取值范围通过解不等式函数＞0求出即可．
（2）根据题设中的定义，将g（x）计算化简并整理，应得出g（x）=，再利用导数求出g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值
（3）由（2）得=，转化为利用数列中a_n与 Sn关系求数列通项．
解答：解：（1）由f（x）＞0，得，…（1分）
即2x²-12x-3＞0，解得或．
所以，x的取值范围为 ．…（3分）
（2）====．…（5分）
对g（x）求导，得g'（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1）．
令g'（x）=0，解得或x=3．…（6分）
当x变化时，g'（x）、g（x）的变化情况如下表：

x					3	（3，4）	4
g'（x）		+		-		+
g（x）	3	↗		↘		↗	-1

所以，g（x）在区间[0，4]上的最大值为，最小值为．…（10分）
（3）存在．
由（2）得=．…（11分）
当n≥2时，=
当n=1时，．…（13分）
所以，．…（14分）
点评：本题考查了一元二次不等式解法、利用导数研究最大（小）值．以及利用数列中a_n与 Sn关系求数列通项．考查转化、变形、计算能力．