题目内容

已知函数 $数学公式$ ．定义函数f（x）与实数m的一种符号运算为m?f（x）=f（x）•[f（x+m）-f（x）]．
（1）求使函数值f（x）大于0的x的取值范围；
（2）若 $数学公式$ ，求g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；
（3）是否存在一个数列{a_n}，使得其前n项和 $数学公式$ ．若存在，求出其通项；若不存在，请说明理由．

解：（1）由f（x）＞0，得 $\text{[math]}$ ，
即2x²-12x-3＞0，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
所以，x的取值范围为 $\text{[math]}$ ．
（2） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
对g（x）求导，得g'（x）=6x²-21x+9=3（x-3）（2x-1）．
令g'（x）=0，解得 $\text{[math]}$ 或x=3．
当x变化时，g'（x）、g（x）的变化情况如下表：

x	0	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	3	（3，4）	4
g'（x）		+	0	-	0	+
g（x）	3	↗	$\text{[math]}$	↘	$\text{[math]}$	↗	-1

所以，g（x）在区间[0，4]上的最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为 $\text{[math]}$ ．
（3）存在．
由（2）得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当n≥2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当n=1时， $\text{[math]}$ ．
所以， $\text{[math]}$ ．

分析：（1）函数值f（x）大于0的x的取值范围通过解不等式函数 $\text{[math]}$ ＞0求出即可．
（2）根据题设中的定义，将g（x）计算化简并整理，应得出g（x）= $\text{[math]}$ ，再利用导数求出g（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值
（3）由（2）得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，转化为利用数列中a_n与 Sn关系求数列通项．
点评：本题考查了一元二次不等式解法、利用导数研究最大（小）值．以及利用数列中a_n与 Sn关系求数列通项．考查转化、变形、计算能力．