Question

9．下列命题，正确命题的个数为（　　）
①若tanA•tanB＞1，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin²A+sin²B=sin²C，则△ABC一定是直角三角形；
③若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC一定是等边三角形；
④在锐角△ABC中，一定有sinA＞cosB．
⑤在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\frac{a}{cosA}=\frac{b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$，则△ABC一定是等边三角形．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①切化弦，利用合角公式可得cos（A+B）＜0，推出C为锐角；
②⑤利用正弦定理，再用和角公式得出结论；
④根据|cosX|≤1，不等式可转换为cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，进而得出结论．

解答 解：①若tanA•tanB＞1，
∴tanA＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，
∵sinAsinB＞cosAcosB，
∴cos（A+B）＜0，
∴A+B为钝角，故C为锐角，
则△ABC一定是锐角三角形，故错误；
②若sin²A+sin²B=sin²C，由正弦定理可得：a²+b²=c²，则△ABC一定是直角三角形，故正确；
③若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
∵|cosX|≤1，
∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1
∵A、B、C＜180°
∴A-B=B-C=C-A=0
∴A=B=C=60°
∴△ABC是等边三角形 则△ABC一定是等边三角形，故正确；
④在锐角△ABC中，
∴A+B＞90°，
∴A＞90°-B，
∴sinA＞sin（90°-B），
∴sinA＞cosB，故正确；
⑤在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵$\frac{a}{cosA}=\frac{b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$，由正弦定理知sinAcosB=sinBcosA，
∴sin（B-A）=0，
∴B=A，同理可得A=C，
∴△ABC一定是等边三角形，故正确．
故选C．

点评 考查了三角函数的和就角公式，正弦定理的应用．难点是对题中条件的分析，划归思想的应用．