Question

4．定义在（0，+∞）上的函数f（x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求证：1是函数f（x）的零点；
（2）求证：f（x）是（0，+∞）上的减函数；
（3）当$f（2）=\frac{1}{2}$时，解不等式f（ax+4）＞1．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，推出f（1）=0，即可证明结果．
（2）利用已知条件结合函数的单调性的定义，证明结果即可．
（3）利用已知条件，通过函数的单调性，利用分类讨论求解即可．

解答 解：（1）证明：对于任意的正实数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，
所以令m=n=1，则f（1）=2f（1）．
∴f（1）=0，即1是函数f（x）的零点．
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，∵f（mn）=f（m）+f（n），∴f（mn）-f（m）=f（n）．
∴f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{x2}{x1}$）．
因0＜x₁＜x₂，则$\frac{x2}{x1}$＞1．而当x＞1时，f（x）＜0，从而f（x₂）＜f（x₁）．
所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）因为f（4）=f（2）+f（2）=1，
所以不等式f（ax+4）＞1可以转化为f（ax+4）＞f（4）．
因为f（x）在（0，+∞）上是减函数，所以0＜ax+4＜4．
当a=0时，解集为ϕ；
当a＞0时，-4＜ax＜0，即-$\frac{4}{a}$＜x＜0，解集为{x|-$\frac{4}{a}$＜x＜0}；
当a＜0时，-4＜ax＜0，即0＜x＜-$\frac{4}{a}$，解集为{x|0＜x＜-$\frac{4}{a}$}．

点评 本题考查抽象函数的应用，函数的单调性的证明，分类讨论以及转化思想的应用，考查计算能力．