Question

已知F₁，F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，以原点O为圆心、OF₁为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F₂AB为等边三角形，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：由题设条件知A(-

3

2

c，

c

2

)，把A代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得

3c2

4a2

+

c2

4b2

=1，整理，得e⁴-8e²+4=0，由此能够求出椭圆的离心率．

解答：解：由题意知A(-

3

2

c，

c

2

)，
把A代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，得

3c2

4a2

+

c2

4b2

=1，
∴3（a²-c²）c²+a²c²=4a²（a²-c²），
整理，得e⁴-8e²+4=0，
∴e2=

8± 64-16

2

=4±2

3

，
∵0＜e＜1，∴e=

3

-1．
故答案：

3

-1．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．