Question

（1）证明：如果一个整数的平方是3的倍数，那么这个整数是3的倍数．
（2）证明：

3

是无理数
（3）1，

3

，2是否可能同时是一个等差数列中的三项？如可能，请求出公差的值；如不可能，请给出证明．

Answer 1

分析：（1）通过整数设为：3k，3k+1，3k+2；k∈Z，利用平方后被3整除，推出结论．
（2）运用反证法证明．假设 

3

是有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得 

3

=

p

q

，那么可证p和q都是3的倍数，这与假设p，q互质矛盾，从而假设不成立，故结论成立．
（3）利用反证法证明，设出等差数列，利用等差数列任意两项之间的关系，推出有理数等于无理式的矛盾结果，即可证明不可能是等差数列中的三项．

解答：证明：（1）因为所有整数可以设为：3k，3k+1，3k+2；k∈Z．
所以（3k）²=9k²，因为k∈Z，所以k²∈Z，9k²，被3整除．
（3k+1）²=9k²+6k+1因为k∈Z，所以9k²+6k+1∈Z，9k²+6k+1不能被3整除．
（3k+2）²=9k²+12K+4因为k∈Z，所以9k²+12K+4∈Z，9k²+12K+4不能被3整除．
所以如果一个整数的平方是3的倍数，那么这个整数是3的倍数．
（2）证明：假设

3

是有理数．
∵1＜

3

＜2，∴

3

不是整数，
那么存在两个互质的正整数p，q，使得=

p

q

，
于是p=

3

q．
两边平方，得p²=3q²．
∵3q²是3的倍数，
∴p²是3的倍数，
又∵p是正整数，
∴p是3的倍数．
设p=3k（k为正整数），代入上式，得3q²=9k²，
∴q²=3k²，
同理q也是3的倍数，
这与前面假设p，q互质矛盾．
因此假设

3

是有理数不成立．
故

3

是无理数．
（3）反证法，假设1，

3

，2能是一个等差数列中的三项，
设等差数列的首项为a，公差d，1，

3

，2分别是等差数列的第m，n，k项，
则1=a+（n-1）d，①；

3

=a+（m-1）d，②；
2=a+（k-1）d，③；
②-①得

3

-1=（m-n）d，
③-①得1=（k-n）d，将上面两式相除得

3 -1

1

=

m-n

k-n

这是不可能的，
因为上式右边是有理数，但左边却是无理数．
所以1，

3

，2不可能是一个等差数列中的三项．

点评：本题考查了反证法．反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．应用反证法证明的具体步骤是：①反设：作出与求证结论相反的假设； ②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设成立，从而肯定原命题成立．反证法在初中教材大纲中不作要求，本题属于竞赛题型，有一定难度．