Question

用长为18 m的钢条围成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的长与宽之比为2∶1，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

Answer 1

解：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为

由  解得    

   故长方体的容积为

从而    V′(x)＝18x－18x²＝18x (1－x)，

令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0 (舍去)，   

当0<x<1时，V′(x)>0；

当         时，V′(x)<0，

故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，

从而最大体积为V(1)＝9×1²－6×1³ ＝ 3 (m³ )    

此时容器的高为4.5－3＝1.5 m.

因此，容器高为1.5 m时容器的容积最大，最大容积为3 m³.