Question

在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD=A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为BC，C₁D₁的中点．
（1）求异面直线A₁E，CF所成的角；
（2）求平面A₁EF与平面ADD₁A₁所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线A₁E，CF的方向向量，代入向量夹角公式，可得求异面直线A₁E，CF所成的角；
（2）求平面A₁EF与平面ADD₁A₁的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角的余弦值．

解答：解：以D为原点建立空间直角坐标系
（1）A₁（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F（0，1，1）

A1

E=(-1，2，-1)，

CF

=(0，-1，1)，
设异面直线A₁E，CF所成的角为θ，则
|

A1E

•

CF

|=|

A1E

|•|

CF

|cosθ，
即3=

6

•

2

•cosθ
解得cosθ=

3

2

解θ=

π

6

，
所以，所求异面直线的夹角为

π

6

（2）

A1F

=(-2，1，0)，设平面A₁EF的法向量为

m

=(x，y，z)，则

-x+2y-z=0 -2x+y=0

，
令x=1，则平面A₁EF的一个法向量为

m

=(1，2，3)，
平面ADD₁A₁的一个法向量为

n

=(0，1，0)，
设平面A₁EF与平面ADD₁A₁所成锐二面角为α，则
由

m

•

n

|=|

m

|•|

n

|cosα，
即2=

14

•1•cosα
解得：cosα=

14

7

故平面A₁EF与平面ADD₁A₁所成锐二面角的余弦值为

14

7

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，用空间向量求直线间的夹角，建立空间坐标系，将空间异面直线夹角问题及二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．