题目内容
在底面边长为2，高为1的正四棱柱
中，
、
分别为
、
的中点．
（1）求异面直线
、
所成的角；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值．
【答案】
（1）
；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）先建系，并写出各点的坐标，利用向量法求出异面直线
、
所成的角；（2）先求出平面
与平面
的法向量，然后利用法向量来计算平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
试题解析：由于
为正四棱柱，不妨以点
为坐标原点，
、
、
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立如下图所示的空间直角坐标系
，则
，
，
，
，则
，
， 1分
，
，
，
3分
设异面直线、所成的角为
，
则
，
，
即异面直线、所成的角为；
4分
（2）如上图所示，则，
，，设平面的一个法向量为
，
，
，
，
，即
，解得
，
，
，即
，将代入得
，
令
，可得平面的一个法向量为
，
6分
同理可知平面的一个法向量为
，
7分
，
，
， 8分
设平面与平面所成锐二面角的平面角为
，
则
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
10分
考点：异面直线所成的角、二面角、空间向量法
练习册系列答案
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在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD=A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．
，则动点P的轨迹的周长为（ ）
B．
D．