Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，⊙C圆心的极坐标为(

2

，

π

4

)，半径为

2

，直线l的参数方程：

x=m+ 4 5 t y=m+ 3 5 t

(t为参数）
（I）求圆C的极坐标方程；
（II）若直线l与圆C相离，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）画出图形，在Rt△OMP中，由OP=OMcos∠MOP即可得出⊙C的极坐标方程；
（Ⅱ）利用直线与圆的位置关系的判定方法及点到直线的距离公式即可求出．

解答：解：（Ⅰ）如图所示：
OM为⊙C的直径，设点P（ρ，θ）为圆上的任意一点，连接PM．
在Rt△OMP中，ρ=2

2

cos(

π

4

-θ)即为⊙C的极坐标方程；
（Ⅱ）由直线l的参数方程：

x=m+ 4 5 t y=m+ 3 5 t

(t为参数）消去参数t化为普通方程3x-4y+m=0．
由⊙C的极坐标方程ρ=2

2

cos(

π

4

-θ)展开为ρ=2cosθ+2ρsinθ，∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
化为普通方程为x²+y²=2x+2y，即为（x-1）²+（y-1）²=2，圆心C（1，1），半径r=

2

．
∵直线l与圆C相离，∴圆心C到直线l的距离d＞r，即

|3-4+m|

32+(-4)2

＞

2

，
化为|m-1|＞5

2

，
∴m-1＞5

2

或m-1＜-5

2

，
解得m＞1+5

2

或m＜1-5

2

．

点评：熟练掌握极坐标方程与普通方程的互化及直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．