Question

（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，分别为的中点，．

（Ⅰ）求证：平面平面．

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∵四边形是菱形，

∴．

在中，，，

∴．

∴，即．

又，    ∴．…………………2分

∵平面，平面，

∴．又∵，

∴平面，………………………………………4分

又∵平面，

平面平面．   ………………………………6分

（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，

∴平面平面  ………………………6分

∵平面，∴．

由（Ⅰ）知，又

∴平面，又平面，

∴平面平面．…………………………8分

∴平面是平面与平面的公垂面．

所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角．……9分

在中，，即．……………10分

又，

∴．

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…………12分

理（Ⅱ）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，

、、、，…………6分

则，，．………7分

由（Ⅰ）知平面，

故平面的一个法向量为．……………………8分

设平面的一个法向量为，

则 ，即，令，

则．     …………………10分

∴．

所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………12分

【解析】（Ⅰ）要证平面平面，只要证平面，即证，；（Ⅱ）传统法找出平面角，建立空间直角坐标系计算平面的法向量，计算角。