Question

若AB为抛物线y²=2px （p＞0）的动弦，且|AB|=a （a＞2p），则AB的中点M到y轴的最近距离是（　　）

• A．

  a

  2

• B．

  p

  2

• C．

  a+p

  2

• D．

  a-p

  2

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），作出草图，则所求距离为MN=

x1+x2

2

=

(x1+ p 2 )+(x2+ p 2 )

2

-

p

2

，根据抛物线定义及三角形三边关系即可求得其最小值．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
抛物线准线为x=-

p

2

，
如图所示：
则所求距离为MN=

x1+x2

2

=

(x1+ p 2 )+(x2+ p 2 )

2

-

p

2

=

|AF|+|BF|

2

-

p

2

≥

|AB|

2

-

p

2

=

a

2

-

p

2

，
所以AB的中点M到y轴的最近距离是

a-p

2

，此时弦AB过焦点F．
故选D．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．