Question

【题目】已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数.

（1）求直线的斜率；

（2）设直线过点并交抛物线于，两点，且，直线与轴交于点，试探究与的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）是定值，

【解析】

（1）根据点的坐标求出抛物线方程，设出点和点的坐标，利用斜率公式和抛物线方程，求出和，再根据和互为相反数，得到，进而求出直线的斜率；

（2）设出点和点的坐标，根据，得到，再设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理，并结合，化简，得到的坐标表示，求出，借助向量的数量积，即可求得与的夹角.

（1）设，，

因为点为抛物线上的一点，

所以，解得，所以，

同时，有，，

，

同理，，

因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数，

所以，即，

故.

（2）设直线的方程为，，，，

将直线的方程代入，得，

所以，，

，，且，

，解得，

，

又

，

，

又，，

，即与的夹角为.

与的夹角是定值，定值为.