Question

双曲线x²-y²=2上一点到双曲线的中心距离为2．则该点到两焦点的距离之积是

4

．

Answer 1

分析：设该点为P（m，n），根据点P到原点的距离为2和点在双曲线上，建立关于m、n的方程组解出m²=3、n²=1．再由双曲线的方程算出焦点的坐标，利用两点的距离公式加以计算，可得点P到两焦点的距离之积．

解答：解：设该点为P（m，n），
∵点P在双曲线x²-y²=2上，且双曲线的中心到P的距离为2，
∴m²+n²=4且m²-n²=2，解之得m²=3，n²=1，
∵双曲线x²-y²=2的a=b=

2

，∴c=

a2+b2

=2，
得双曲线的焦点分别为F₁（-2，0），F₁（2，0），
∴PF₁=

(m+2)2+n2

，PF₂=

(m-2)2+n2

可得PF₁•PF₂=

(m+2)2+n2

•

(m-2)2+n2

=

(m2+n2+4)+4m

•

(m2+n2+4)-4m

=

8+4m

•

8-4m

=

64-16m2

=

64-48

=4．
故答案为：4

点评：本题给出双曲线上满足条件的点，求该点到两个焦点的距离之积．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、两点的距离公式等知识，属于中档题．