Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a²+c²=2b²．
（Ⅰ）若B=

π

4

，且A为钝角，求内角A与C的大小；
（Ⅱ）求sinB的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得sinC=-cosA．进而求得C和A的值．
（Ⅱ）由余弦定理求得b的表达式，根据基本不等式求得cosB的范围，进而求得sinB的大值．

解答：解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有sin²A+sin²C=2sin²B=1．
故sin²C=cos²A．因为A为钝角，所以sinC=-cosA．
由cosA=cos(π-

π

4

-C)，可得sinC=sin(

π

4

-C)，得C=

π

8

，A=

5π

8

．
（Ⅱ）由余弦定理及条件b2=

1

2

(a2+c2)，有cosB=

a2+c2-b2

4ac

，
因a²+c²≥2ac，
所以cosB≥

1

2

．
故sinB≤

3

2

，
当a=c时，等号成立．从而，sinB的最大值为

3

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．考查了三角函数与不等式基础知识的结合．