Question

在正四面体S-ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则异面直线EF与AB所成的角是

60°．

．

Answer 1

分析：根据正四面体S-ABC的特点求出其高以及底边的高，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出

FE

，

AB

的坐标，利用向量的数量积公式求出＜

FE

，

AB

＞，根据异面直线所成的角与向量角的关系求出答案．

解答：解：以SF为z轴，以FB为x轴建立空间直角坐标系，设正四面体S-ABC的棱长为1，则
△ABC的高为

3

2

，
因为F为△ABC的中心，
所以根据三角形重心的性质，F到AC的距离为

1

3

×

3

2

=

3

6

，
所以A（-

3

6

，-

1

2

，0)，B（

3

3

，0，0），F（0，0，0）
在三角形SAF中，
SA=1，AF=

2

3

×

3

2

=

3

3

，
所以SF=

SA2-AF2

=

1- 1 3

=

6

3

，
所以S(0，0，

6

3

)，E（-

3

12

，-

1

4

，

6

6

），
所以

FE

=(-

3

12

，-

1

4

，

6

6

)，

AB

=(

3

2

，

1

2

，0)，
所以cos＜

FE

，

AB

＞=

FE • AB

| FE || AB |

=

- 1 4

1 2 ×1

=-

1

2

所以＜

FE

，

AB

＞= 120°，
所以异面直线EF与AB所成的角是60°．
故答案为60°．

点评：本题考查通过坐标系将立体几何问题转化为代数问题来解决，考查利用向量的数量积求异面直线所成的角，要注意异面直线所成角的范围．