Question

在正四面体S-ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的大小为（　　）

• A．arccos

  1

  3

• B．45°
• C．arctan

  2

• D．arctan

  2

  2

Answer 1

分析：要求直线EF与平面ABC所成的角的大小则根据线面角的定义需过点E向面ABC作垂线而垂足落在哪是关键，由于正四面体S-ABC中，E为SA的中点故可根据正四面体的对称性可连接SF，则SF⊥平面ABC且取线段AF的中点G，连接EG则根据中位线定理可得EG∥SF即EG⊥平面ABC则点G即为点E在面ABC上的垂足故∠EFG即为EF与平面ABC所成的角然后再通过解RT△EGF求出∠EFG即可．

解答：解析：连接SF，则SF⊥平面ABC．连接AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连接EG，由E为SA的中点，则EG∥SF，
∴EG⊥平面ABC，
∴∠EFG即为EF与平面ABC所成的角．
设正四面体的边长为a，则AH=

3

2

a，且AF=

2

3

AH=

3

3

a；
在Rt△AGE中，AE=

a

2

，AG=

1

2

AF=

3

6

a，∠EGA=90°，
∴EG=

AE2-AG2

=

6

6

a．
在Rt△EGF中，FG=

1

2

AF=

3

6

a，EG=

6

6

a，∠EGF=90°，
∴tan∠EFG=

EG

FG

=

2

，
∴∠EFG=arctan

2

，即EF与平面ABC所成的角为arctan

2

，
故选C．

点评：本题主要考察了线面角的求解，属常考题，较难．解题的关键是利用线面角的定义做出线面角但再作线面角时过点E向面ABC作垂线而垂足在哪成为解决问题的关键这需利用正四面体的对称性和中位线定理来过渡！