题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数 $数学公式$ 上的最大值和最小值．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1，故函数的最小正周期为 $\text{[math]}$ =π．
令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，故函数的单调增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（2）由 x∈ $\text{[math]}$ ，可得 2x- $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，故当x=- $\text{[math]}$ 时，函数f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1取得最小值为-2，
当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1取得最大值为 $\text{[math]}$ -1．
分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为 sin（2x- $\text{[math]}$ ）-1，从而求得函数的最小正周期，令 2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求出x的范围，即可求得函数的单调增区间．
（2）由 x∈ $\text{[math]}$ ，可得 2x- $\text{[math]}$ 的范围，求出sin（2x- $\text{[math]}$ ）的范围，从而求得函数在 $\text{[math]}$ 上的最大值和最小值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．