Question

设{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和．

（1）证明：．

（2）是否存在常数c > 0，使得．

 

Answer 1

答案：
解析：

设{an}的公比为q，由已知：a1>0，q >0． （1）当q =1时，． ∴ 当q≠1时，，从而 由上可知： 根据对数函数的单调性，知：，即 （2）解法一：要使成立，则有： 分两种情况讨论： 当q =1时： 故此时不存在常数c >0，使结论成立． 当q≠1时，若条件成立，则有 ∵ ，故只能a1－c(1－q)=0，即 此时：∵c >0，a1>0  ∴ 0 < q < 1 但 0 < q < 1时，不满足题意． 即不存在常数c >0，使结论成立． 解法二：用反证法，假设存在常数c >0，使得：，对一切自然数n都成立，则有： 　　 　　 　　 ①②③④ 　　 　　   由④得： (*) 又 ∵c >0，∴ (*)式右端非负，而由（1）可知，（*）式左端小于0产生矛盾，故假设错误， 即不存在常数c >0，使得 对一切自然数n都成立．